ラプラス変換・フーリエ変換・逆ラプラス変換の解説

1. ラプラス変換とは？

ラプラス変換（Laplace Transform） とは、時間領域の関数を複素周波数領域に変換する積分変換の一種です。制御工学や信号処理で広く使われ、微分方程式を代数的な方程式に変換することで解析を容易にします。

定義式

ラプラス変換は以下の式で定義されます：

$F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t) e^{-st} dt$

ここで：

• $f(t)$ は時間領域の関数（入力信号など）
• $s$ は複素数（$s = \sigma + j\omega$）
• $F(s)$ はラプラス変換後の関数

目的と利点

• 微分方程式の代数化：微分方程式を単純な代数方程式に変換
• 伝達関数の定義：システムの入力と出力の関係を表現（$G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}$）
• 安定性解析：極（ポール）の位置を調べることでシステムの安定性を評価

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2. フーリエ変換とは？

フーリエ変換（Fourier Transform） とは、信号を周波数成分に分解する手法であり、周期的でない関数にも適用可能です。

定義式

フーリエ変換は次のように定義されます：

$F(\omega) = \mathcal{F}\{f(t)\} = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$

ここで：

• $\omega$ は角周波数（ラジアン/秒）
• $F(\omega)$ はフーリエ変換後の関数（周波数領域表現）

目的と利点

• 周波数成分の解析：信号のスペクトルを調べるのに有用
• 通信・信号処理：フィルタ設計や変調・復調で重要
• 物理現象の解析：音響、電磁波、量子力学などで利用

ラプラス変換との違い

項目	ラプラス変換	フーリエ変換
目的	システム解析、制御	信号の周波数解析
変換領域	複素数平面 $s$	周波数 $\omega$
積分範囲	$0 \to \infty$（片側）	$-\infty \to \infty$（両側）
主な用途	伝達関数、安定性解析	信号処理、スペクトル解析

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3. 逆ラプラス変換とは？

逆ラプラス変換（Inverse Laplace Transform） は、ラプラス変換された関数 $F(s)$ から元の時間領域の関数 $f(t)$ を求める変換です。

定義式

逆ラプラス変換は以下の積分で表されます：

$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} ds$

ただし、この積分は実用上計算が難しいため、部分分数分解 や ラプラス変換表の利用 により解析的に求めることが一般的です。

目的と利点

• 時間領域のシステム応答の解析：システムのインパルス応答・ステップ応答を求める
• 伝達関数の時間応答への変換：制御工学でシステムの挙動を予測

代表的な逆ラプラス変換の例

$F(s)$	$f(t)$
$\frac{1}{s}$	1 （ステップ関数）
$\frac{1}{s+a}$	$e^{-at}$（指数減衰）
$\frac{s}{s^2+\omega^2}$	$\cos(\omega t)$
$\frac{\omega}{s^2+\omega^2}$	$\sin(\omega t)$

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4. まとめ

変換	目的	変換領域	主な用途
ラプラス変換	微分方程式を代数方程式に変換	$s$（複素数平面）	制御工学、システム解析
フーリエ変換	信号の周波数解析	$\omega$（周波数）	信号処理、スペクトル解析
逆ラプラス変換	伝達関数を時間応答へ変換	時間領域 $t$	制御システムの挙動解析

ラプラス変換とフーリエ変換は密接に関連しており、特に ラプラス変換の$s = j\omega$ の軸上で評価するとフーリエ変換に一致 するという性質があります。

このように、ラプラス変換・フーリエ変換・逆ラプラス変換はそれぞれ異なる目的を持ちますが、制御工学や信号処理において不可欠なツールです。